sábado, 25 de enero de 2014
lunes, 20 de enero de 2014
La metamatemática
La Metamatemática
(Ignacio
J. Álvarez)
Un
matemático que tuvo especial relevancia en el estudio de este tema fue David
Hilbert (1862-1943), matemático alemán que contribuyó, en gran medida, a la
salida de la espiral en la que estaba sumergiéndose la Matemática en este
periodo.
Hilbert
aportó, entre otras cosas, una Teoría de la Demostración que configuraba la
distinción entre Matemáticas (sistema de signos carentes de significado) y
Metamatemáticas (declaraciones significativas que se formulan sobre aquellas).
I. 23 = 8 (Matemática)
II. "23 = 8"
es verdadera (Metamatemática)
III. Cuando leí
""23 = 8" es verdadera" comprendí lo que es una
potencia”
(Metamatemática II)
(Metamatemática II)
IV. El ejemplo III afirma: "Cuando leí
""23 = 8" es verdadera"
comprendí
lo que es una potencia" (Metamatemática III)
Veamos,
a continuación, dos paradojas que describen en su globalidad este estado de
cosas. La primera constituye una de las piedras angulares en la concepción de
conjunto infinito como un elemento matemático consistente. La segunda define el
contexto (problemática y resolución) en el que se movía la Matemática, con el
planteamiento de las cuestiones tratadas en estas reflexiones, ya que contiene
la estructura esencial del trabajo de Kurt Gödel.
Paradoja
1 La Paradoja de Russell (1903) -El conjunto formado por
todos los conjuntos ¿es un conjunto?-:
"El barbero afeita solamente a
todos los hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos, pero el barbero,
¿se afeita a sí mismo?".
Si el barbero no se afeita a sí
mismo, entonces el barbero se debe afeitar, pues afeita a todos los hombres que
no se afeitan a sí mismos. Y si se afeita a sí mismo no se puede afeitar, pues
sólo afeita a los que no se afeitan a sí mismos.
Esta
paradoja se pone de manifiesto en la definición que daba Bertrand Russell, por ejemplo,
del número 1:
"El
número 1 es el conjunto de todos los conjuntos E, no vacíos, tales que:
x elemento de E e y elemento de E implica que
x = y ".
La
Paradoja de Russell, al igual que el resto de paradojas, es evitada gracias a
la axiomatización de la teoría de conjuntos de Von Newman-Gödel (1926), que
plantea la distinción entre Clase y Conjunto, poniendo de manifiesto que un
conjunto puede ser un elemento de otro conjunto, pero una clase no puede serlo
de otra clase.
Paradoja
2 (La Paradoja del Mentiroso):
La
frase escrita en este recuadro es falsa
Obsérvese
que esta frase habla de sí misma, conduciéndonos a una contradicción.
Si la
frase es verdadera, lo que dice es cierto, luego es falsa.
Si la
frase es falsa, lo que dice, entonces, es falso, por lo que sería verdadera.
Es decir, si la frase es
verdadera, entonces es falsa; y si la frase es falsa, entonces es verdadera.
Otras
versiones de la Paradoja del Mentiroso son:
1. Epiménides,
el cretense, dice:
"Todos los cretenses son
mentirosos"
2.
La oración del otro cuadro es verdadera
|
La oración del otro cuadro es falsa
|
3.
I.
Esta oración contiene cinco palabras
II.
Esta oración contiene ocho palabras
III. Una, y sólo una, de las oraciones de este cuadro es verdadera
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